Por que a gravidade cai com R² ?

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A gravidade descrita por Isaac Newton há alguns séculos e que aprendemos na escola diz que a força gravitacional depende da distância entre objetos, além das massas deles

Ou seja, o planeta Terra está sujeito a uma força gravitacional pelo Sol muito maior que Júpiter, pois estamos muito mais perto. E esse “muito maior” é dado pela distância ao quadrado.

Ou seja, se a minha distância da terra é 10 km estou sujeito a uma força 100 vezes menor de quem está a 1km dela

Isso é dado por uma fórmula, a da Força Gravitacional

F = Gm1m2/r²

“G” é um valor constante, os “m”s são as massas dos dois corpos envolvidos, e “r” é a distância, ou seja, o raio

Ok, o papo foi introduzido, mas esse r² vem da onde ? Bem, vem de experimentos comprovando, mas também há uma lógica por trás. Faz sentido na natureza

Isso tem relação com algumas coisas: estamos aqui falando de longas distâncias, então estamos ignorando que a Terra é torta como uma batata, pense aqui na Terra redondinha e perfeita

Ou então, pensa na massa dela toda no centro de massa. Precisamos pensar aqui nas coisas simétricas, tipo uma esfera…

Aliás, qual é a área de uma esfera ? Caso você não saiba é 4πr², ou seja, a área de uma esfera cresce com o raio dela ao quadrado

Agora vamos deixar as coisas mais lúdicas, pense na gravidade como fios te puxando para baixo

Uma quantidade m de massa da Terra terá em si m fios para puxar coisas para seu centro de massa. Mas esses fios são limitados

Quanto mais próximo da origem mais esses fios estão mais próximos, quanto mais longe, mais distantes entre si

Agora digamos que você esteja bem próximo da Terra, e terá em você uns… 300 fios desse te puxando, a gravidade atuando. Quanto ficar mais longe da Terra esses número de fios te puxando reduzirá, eles ficarão mais distantes, e aí você terá, digamos, 150 fios.

Na figura anterior olha os fios no boneco. Ou seja, a gravidade ficou mais fraca com essa distância maior tomada. Tá, onde eu quero chegar ?

Quero chegar que essa distância pode ser entendida como um a densidade de fios passando por uma esfera que contém a Terra, exemplo. E essa desidade de fios reduz com a área da esfera aumentando.

E essa área aumenta como ? Bem, com o raio da esfera ao quadrado, ou seja, com a distância ao quadrado! Esses “fios” são linhas de campo, essa regra pode ser entendida pela Lei de Gauss

\phi = \int_S E dA

Essa equação acima resume tudo isso que eu falei! Sim…

Bem, esse resultado é clássico, essa Força Gravitacional foi achada antes da Relatividade Geral, que já expliquei aqui. Mas na Relatividade usamos uma aproximação que recupera esse valor antigo, ou seja, a Relatividade complementa e confirma a gravitação de Newton

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