A Busca por Simetria

Se há uma coisa que podemos afirmar, é que o ser humano sempre foi atraído pelo que considera belo. E quando falamos sobre beleza, geralmente estamos nos referindo implicitamente ao conceito de simetria. A simetria é parte importante nas ciências naturais como Física, Química e Biologia e também na Matemática. A razão para isso é bem simples: a própria Natureza usa de simetria para criar o mundo que nos cerca.

Não é difícil encontrarmos exemplos simétricos no mundo ao nosso redor, como na distribuição das pétalas de algumas flores, no formato de floco de neve ou até mesmo das galáxias, o padrão das asas de uma borboleta e assim por diante. Mas, afinal, o que é simetria?

Se buscarmos o significado dessa palavra no dicionário (ou no Google), encontraremos algo como conformidade, em medida, forma de posição relativa, entre as partes dispostas em cada lado de uma linha divisória, um plano médio, um centro ou um eixo.

Simplificando, isso quer dizer que quando uma figura ou um objeto é dividido em partes e essas partes são comparadas, elas podem ser vistas como muito semelhantes ou exatamente idênticas!

Na Física e na Matemática, temos uma definição um pouco mais ampla. Dizemos que algo é simétrico quando, sob uma determinada operação (rotação, translação, inversão, espelhamento…), o objeto permanece exatamente o mesmo. Vamos ver melhor como isso funciona em um dos exemplos que citamos acima.

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A flor A da figura acima é simétrica se a dividirmos ao meio verticalmente e espelharmos as duas metades resultantes. Já as demais flores, possuem simetria de rotação, ou seja, se girarmos elas em ângulos específicos (conforme mostrado na figura) obteremos a mesma imagem.

Embora o conceito de simetria seja amplamente utilizado em algumas áreas de pesquisa de ponta nas Ciências, a sua existência nas leis da Natureza é, provavelmente, uma das observações mais antigas do ser humano. Filósofos gregos como Anaximandro (610 a.C. – 546 a.C.) e Platão (427 a.C. – 347 a.C.)   já discutiam sobre o tema.

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O conceito de simetria aparece na cosmologia de Anaximandro quando ele pressupõe uma simetria esférica para o Universo. Na verdade, o modelo de Anaximandro descreve espaços isotrópicos, simétricos e harmônicos que, até então, nunca haviam sido contemplados em trabalhos filosóficos de seus antecessores. Platão por sua vez, dois séculos depois de Anaximandro, se apropria das noções de simetria e harmonia para propor um modelo esférico para a Terra (isso mesmo, esférico e não plano!). Essa discussão pode ser vista com mais detalhes (em uma linguagem mais técnica), no trabalho de Freire (2016).

Ainda poderíamos discutir a presença de simetria nas criações humanas, principalmente nas artes. Muitas das obras de arte que admiramos hoje em dia possuem propriedades simétricas, seja na arquitetura, na escultura, pintura, na música e até mesmo nas artes cênicas. Mas, para não prolongarmos essa discussão, vamos falar um pouco sobre a importância da simetria na Física.

A casa de adoração Bahai (Templo de Lótus), em Delhi na Índia é um exemplo de arquitetura simétrica.

Como já disse anteriormente, simetria é um conceito muito importante nas ciências. Quando se trata da Física, este conceito torna-se tão importante que, sem ele, talvez nossos conhecimentos sobre as leis da Natureza seriam infundados e até mesmo inexistente.

Um exemplo da importância do conceito de simetria na Física (e também na Química) pode ser encontrado na Cristalografia. A Cristalografia, trata-se de uma área que estuda a disposição dos átomos nos sólidos. Diferentes arranjos de átomos formam diferentes materiais.

A simetria na Cristalografia desses materiais pode ser observada no que chamamos de célula unitária. A célula unitária de um material é a menor forma geométrica tridimensional (simétrica) que podemos dividir um cristal. Algumas das células unitárias mais comuns podem ser vistas na figura abaixo:

Células unitárias mais comuns

Vamos considerar, por exemplo, o grafite e o diamante. Ambos materiais são sólidos formados por átomos de carbono, mas o que acontece para eles serem tão diferentes?

A resposta é que, embora sejam formados pelo mesmo elemento químico, esses materiais possuem simetrias diferentes. O grafite possui a célula unitária do tipo hexagonal e diamante possui célula unitária cúbica. A diferença na simetria é que causa a diferença nas propriedades. Enquanto podemos usar o grafite para escrever, se riscarmos a ponta de um lápis feita de diamante em uma folha de papel, o máximo que conseguiremos fazer é rasgar a folha.

Outro exemplo da presença de simetria na Física está contido nas equações da Mecânica Clássica, aquelas equações que aprendemos no primeiro ano do Ensino Médio. Podemos ver isso de forma clara na segunda lei de Newton:

A força resultante que atua em um corpo é proporcional à sua aceleração.

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A segunda lei de Newton vale independente de qual direção a força está sendo aplicada. Ou seja, ela possui uma simetria que nós chamamos de isotropia. Isotropia significa que não existem direções privilegiadas. Portanto, não importa se alinharmos o eixo x na direção horizontal, vertical ou em qualquer outra, ao medirmos a relação entre a aceleração adquirida por um corpo de massa m e as forças aplicadas sobre ele, esta medida sempre resultará na segunda lei de Newton. Isso significa que a segunda lei de Newton (e todas as demais leis da Mecânica Clássica) é invariante (simétrica) à rotações.

Ainda seria possível abordarmos o assunto em outras áreas da Física, como na Relatividade Especial, Eletromagnetismo, Mecânica Quântica e até mesmo na Teoria Quântica de Campos, mas acredito que o que discutimos até aqui já apresenta ao leitor um pouco sobre a importância da simetria na Física.

Entretanto, ainda é necessário falarmos um pouco sobre como a existência de simetria nas Leis da Natureza ganharam uma nova perspectiva devido ao trabalho de uma matemática chamada Emmy Noether.

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Aprendemos, quando estudamos Física no Ensino Médio, que algumas grandezas como carga elétrica e energia são conservados, logo, se medirmos essas quantidades antes e depois de algum evento (em um sistema que não interage com mais nada), veremos que elas não se alteraram.

Embora a conservação dessas grandezas físicas fossem conhecidas há muito tempo, até 1918 não tínhamos ideia do porquê. Quem lançou uma luz sobre essa questão foi  Emmy Noether. O que Noether fez foi relacionar a conservação dessas grandezas físicas com simetrias matemáticas que podiam ser traduzidas na forma de equações. Essa relação ficou conhecida como Teorema de Noether.

Esse foi um grande passo para nosso entendimento do mundo. O Teorema de Noether nos levou a explorar a simetria das leis da Natureza de forma mais completa. Dessa forma, podemos dizer que quando estuamos uma teoria (ou um modelo teórico), a(s) simetria(s) que esta teoria possui é uma das primeiras coisas que olhamos e avaliamos.

No começo desse texto, falamos sobre como temos a tendência de admirar o que é belo e que geralmente associamos o conceito de belo à presença de simetrias. Na Física não é diferente. A beleza de uma teoria está guardada nas simetrias que ela possui e nós, físicos, as admiramos tanto quanto uma bela obra de arte.

Embora tudo pareça muito bonito nesse ponto, tenho uma má notícia para o leitor dessa matéria: A Física não é totalmente simétrica. Na verdade, grande parte das simetrias que encontramos nas equações são fruto de algumas aproximações que fazemos. Marcelo Gleiser (2015) afirma que, sob este prisma, podemos dizer que a simetria é uma redução da realidade, e não sua essência.

De fato, embora imperfeições possam parecer o fim para essa beleza simétrica que tanto buscamos, elas na verdade deixam tudo mais belo (pelo menos aos olhos daqueles apaixonados pela Física). Muitos fenômenos que observamos e que permitem que a vida exista no nosso planeta são, de fato, consequências da falta de simetria ou do que nós chamamos de quebra de simetria, mas esse é assunto para um outro dia.


Bibliografia

[1] Y. Savriama, A Step-by-Step Guide for Geometric Morphometrics of Floral Symmetry. Frontiers in Plant Science. 9. 1433. 10.3389/fpls.2018.01433 (2018).

[2] J. B. Freire, A cosmologia de Anaximandro e a simetria em Platão; noções de justa medida no Fédon 108e, Revista Primordium, n.1 v.2 (2016).

[3] L. Squillante, et. Al., A ordem que emerge da “desordem”, Unespciência, v.94 (2018)
Acesso: 04 de novembro de 2019.

[4] D. Lincoln, Symmetry: How Beautiful Math Makes Elegant Physics, PSB Nova (2013), Acesso: 07 de novembro de 2019.

[4] M. Gleiser, Simetria e estética no pensamento científico, Folha Uol (2015), Acesso: 04 de novembro de 2019.

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